Изображение пользователя Администратор ....
Условия и решения задач по математике
от Администратор .... - вторник, 10 Февраль 2015, 08:55
 

Здесь вы можете ознакомиться с условиями и решением задач по математике.

5-й класс:

5.1. Ира, Аня, Яна, Оля и Лена живут в одном доме: две девочки на первом этаже и три на втором. Оля живёт не на том этаже, где Яна и Лена. Аня - не на том этаже, где Ира и Яна. Кто живёт на втором этаже?

Решение:  Ира и Яна, а также Яна и Лена живут на одном этаже. Значит, они живут на втором. На первом этаже тогда живут Аня и Оля. Ира, Яна и Лена живут на втором этаже.

 

5.2. Красная Шапочка несла бабушке 14 пирожков: с мясом, грибами и капустой. Пирожков с капустой было больше всего, их было вдвое больше, чем пирожков с мясом, а пирожков с мясом было больше, чем пирожков с грибами. Сколько пирожков с грибами несла Красная Шапочка?

Решение. Т.к. пирожков с капустой вдвое больше, чем с мясом, то их общее количество должно делиться на 3. Такое будет возможно только когда пирожков с грибами 2 или 5. Но если тех будет 5, то пирожков с мясом должно быть 4, что не соответствует второму условию. Значит. С грибами было всего 2 пирожка.

5.3. Котик-Муркотик и Лисичка-Сестричка ловили рыбу. К ним подбежал голодный Волчик-Братик и спросил, много ли рыбы они поймали? Лисичка хитро ответила: у нас двоих рыб на 7 больше, чем у меня одной, а у одного из нас на 17 рыб меньше, чем у другого. Сколько рыбы словили вместе Котик-Муркотик и Лисичка-Сестричка?

Решение. Если у них двоих рыб на 7 больше, чем у Лисички, то эти 7 рыб принадлежат Коту. И выходит, что у Лисички рыб на 17 больше, т.е. 24. Итого 31 рыба.

5.4. Маша коллекционирует фотографии известных спортсменов. Количество фотографий, которые она собирает за каждый год равно количеству фото, собранных за два предыдущих года. В 2013 году она собрала 60 фотографий, а в 2014 – 96. Сколько фотографий собрала Маша в 2011 году?

Решение. В 2012 Маша должна была собрать 36 фотографий, чтобы в сумме с 60 фото, собранными в 2013 году получилось 96. А в 2011 было собрано 60-36=24 фотографии. В данной задачи представлена последовательность Фибоначчи.

5.5. Серёжа подбрасывал игральный кубик четыре раза и каждый раз записывал полученное число очков. Сложив эти числа, он получил 21 очко. Какое наибольшее количество раз могла выпадать тройка?

Решение. Какую наибольшую сумму очков мог получить Серёжа? 6*4=24. Полученная им сумма в 21 всего на 3 очка меньше максимальной. А замена одной шестёрки тройкой, также уменьшает максимальную сумму на 3. Поэтому тройка могла выпасть всего раз.

5.6. Сколько существует двузначных чисел, у которых цифра справа больше, чем цифра слева?

Решение. Среди тех чисел, которые начинаются на 1 (10, 11, 12, 13,…) таких чисел 8. На  двойку – 7 чисел, на тройку – 6 чисел и т.д. Среди чисел начинающихся на девятку – нет ничего. Итого 8+7+6+5+4+3+2+1=36.

5.7. У числа 248 средняя цифра в два раза отличается от крайних. Сколько всего имеется трёхзначных чисел, у которых средняя цифра в два раза отличается от крайних?

Решение. Рассмотрим цифры, которые могут стоять в середине. Цифры 0, 5, 7, 9 не подходят. Для остальных цифр получим следующие варианты: 212, 121, 124, 421, 424, 636, 242, 248, 842, 848, 363, 484. Всего 12 вариантов.

5.8. Поставьте в записи 1*2*3*4*5=25 вместо звездочек знаки арифметических действий: +, –, · , : так, чтобы получилось верное равенство. Достаточно привести один пример расстановки знаков.

Решение. 1× 2 + 3 + 4×5 = 25.

5.9. Ученик выполнил 10 задач за 1 час 10 минут, причем на каждую задачу он затратил одинаковое время. Сколько минут школьнику потребовалось на решение четвёртой задачи?

Решение. 1ч10мин=70мин. Ответ: 7 мин.

5.10. Ученик выписывал в ряд натуральные числа по порядку: 12345678910111213141516171819... Какая цифра стоит на 2015 месте?

Решение. Первые 9 цифр относятся к однозначным числам, следующие 2·90 = 180 к двузначным. Остаётся ещё 2014 − 189 = 1825 цифра. Из них состоят 1825⁄3 = 608 трёхзначных чисел и еще одна следующая цифра. Последнее из трехзначных чисел будет равно 99 + 608 = 707, а следующее 708. Значит, 2015-я цифра будет 0. Ответ: 0

 

6-й класс:

1. В коробке лежат 7 карточек с написанными на них числами от 1 до 7 (по одному числу на карточке). Первый мудрец наугад берёт три карточки из коробки, а второй – две (ещё две карточки остаются в коробке). Первый мудрец, глядя на свои карточки, говорит второму: «Я точно знаю, что сумма чисел  на твоих карточках чётная». Чему равна сумма чисел, записанных на карточках первого мудреца?

Решение. Первый мудрец  будет точно знать, что сумма цифр на карточках второго мудреца чётна лишь в том случае, если ему будет известно, что все оставшиеся числа – одной чётности. Следовательно, ему могли выпасть только карточки с числами 2, 4 и 6, их сумма равна 12.

 

             2. У Тани в коробке 9 карандашей. Как минимум один из них синего цвета. Среди каждых 4 карандашей как минимум два – одинакового цвета, а среди каждых пяти не более трёх одинакового цвета. Сколько синих карандашей у Тани в коробке?

Решение. Поскольку среди каждых пяти карандашей не более трёх одноцветных, то и во всём наборе количество карандашей одинакового цвета не превышает трёх. Следовательно, т.к. карандашей 9, то и количество цветов не менее трёх. Однако, если бы карандаши у Тани были, к примеру, четырёх цветов, то взяв по одному карандашу каждого цвета мы получили бы противоречие с первым условием. Следовательно, у Тани карандаши ровно по 3 карандаша трёх различных цветов, в том числе и синих.

            3. Половина всех домов села расположены на Яблочной улице, а четверть – на Грушевой. У каждого дома четыре окна: два белых, синее и красное. Каких окон больше: красных на Яблочной или белых на Грушевой?

Решение. На Яблочной улице домов вдвое больше, чем на Грушёвой. А в каждом доме белых окно вдвое больше, чем красных. Значит красных окон на Яблочной улице ровно столько же, сколько и белых на Грушёвой.

 

            4. Если мы умножим число 12345679 на 9, то получим число 111111111. Если мы умножим его на 18, то получим результат, который содержит только цифры 2. Если мы умножим это число на 27, то получим число, которое записывается только при помощи цифры 3. На какое число нужно умножить число 12345679, чтобы получить число из одних семёрок?

Решение. Чтобы получить число из одних семёрок, нужно умножить 111111111 на 7, а это то же самое, если умножить 12345679 на 9*7=63.

 

 

            5.  Маша коллекционирует фотографии известных спортсменов. Количество фотографий, которые она собирает за каждый год равно количеству фото, собранных за два предыдущих года. В 2013 году она собрала 60 фотографий, а в 2014 – 96. Сколько фотографий собрала Маша в 2011 году?

Решение. В 2012 Маша должна была собрать 36 фотографий, чтобы в сумме с 60 фото, собранными в 2013 году получилось 96. А в 2011 было собрано 60-36=24 фотографии. В данной задачи представлена последовательность Фибоначчи.

 

 

            6. Разрежьте квадрат 3 на 3 на две части и квадрат 4 на 4 на две части так, чтобыиз получившихся четырех кусков можно было сложить квадрат.

Решение

Ответ. Два из возможных примеров разрезания приведены на рисунках

 

            7. Расставьте в ряд числа 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 так, чтобы каждое число было делителем суммы всех предыдущих чисел (первое число должно без остатка делиться на второе, сумма первых двух- на третье, сумма первых трех- на четвертое, и.т.д.)

Решение .Годится пример 10-2-4-8-3-9-6-7-1-5.

 

            8. Как разложить гирьки весом 1,2,…, 9 г в три коробочки так, чтобы в первой было две гирьки, во второй-три, в третьей-четыре, а суммарный вес гирек в коробочках был одинаковым?

Ответ. Например: 9+6; 8+5+2; 7+4+3+1.

Суммарный вес гирек равен 45, поэтому в каждой коробочке суммарный вес гирек равняетяс 15 г.

 

  1. 9.         Решите ребус: АХ+УХ=УРА (одинаковым буква соответствуют одинаковые цифры, а разным-разные).

Ответ. Решение единственное: 89+19=108.

 

            10. В городе живут рыцари и лжецы, рыцари говорят всегда только правду, а лжецы всегда лгут. Однажды в автобусе ехало несколько человек. «Сейчас остановка А. Следующая остановка -Б»,- произнес первый пассажир. «Сейчас остановка Б»,- сказал второй,-«Предыдущая была В». «Предыдущая была В»,- вступил в спор третий пассажир,-«А сейчас остановка А!» . Определите, сколько из этих троих пассажиров рыцарей.

Ответ: Все лжецы.

Решение: Заметим, что 2-й и 3-й высказываются о текущей остановке по - разному, а о предыдущей – одинаково. Это означает, что среди них нет ни одного рыцаря, т. е. 2-й и 3-й – лжецы. Но 3-й и 1-й говорят о текущей остановке одинаково, значит 1-й тоже лжец.

7-й класс:

Вариант 1

1. Докажите, что число , где n – натуральное число, кратное 2 и большее 4, делится на 384

 Решение.

Получили произведение четырех последовательных четных чисел. По крайней мере два из них делятся на 2, одно – на 4 и одно – на 8. Кроме того, хоть одно делится на 3, т.е. все произведение делится на 2*2*4*8*3=384

 2.  Какой угол образуют стрелки часов в 11 часов 30 минут?

Решение.  Между концами стрелок 5 двенадцатых доли полной окружности, то есть  градусов,

Ответ 165.

 3.   Один из внешних углов равнобедренного треугольника равен 32 градусам. Найдите угол между основанием этого треугольника и высотой треугольника, проведенной из вершины угла при основании.

 Решение.  Данный угол не может быть при основании равнобедренного  треугольника, так как  в этом случае сумма  внутренних углов треугольника была бы больше 180 градусов. Значит, данный угол находится  при вершине. Тогда смежный с ним, внутренний угол  треугольника. Будет равен 148 градусов, соответственно углы при основании буду по 16 градусов. Значит, угол между основанием треугольника и высотой треугольника, проведенной из вершиныугла при основании, будет равен  180-90-16=74 градуса.

Ответ: 74 градуса

 4.  Дано 1989 положительных чисел. Известно, что произведение любых 22 из них больше 1. Докажите, что произведение всех данных чисел больше 1.

 Решение.

Разобьем все числа подряд на группы по 22 числа. Получим 90 групп. Произведение всех чисел в каждой группе больше единицы. Кроме того, у нас осталось еще 9 чисел. Выберем в первых 9 группах по одному наибольшему числу. Каждое выбранное число больше единицы. Объединим эти числа в группу. Их произведение больше единицы. Оставшиеся первоначально после объединения 9 чисел распределим в каждую из групп по одному.  Так что в них вновь станет по 22 числа. Значит, произведение чисел в каждой группе больше 1. Таким образом, мы получили 91 группу чисел, произведение чисел  каждой из которых больше 1. Но оно равно произведению всех данных 1989 чисел. Следовательно, это произведение больше 1

 5. Расстояние между поселками – 9 км/ч. Дорога имеет подъем, равнинный участок и спуск. Скорость пешехода на подъеме равна 4 км/ч, на равнинном участке – 5 км/ч, а на спуске – 6 км/ч. Сколько километров составляет равнинный участок, если пешеход проходит расстояние от одного поселка до другого и обратно за 3 часа 41 мин ?

 

Решение.  Обозначив равнинный участок за ч км, получим что спуск и подъем занимают вместе (9-ч) км. Так как пешеход шел туда и обратно, то он прошел одинаковые расстояния при подъеме и спуске. Так как общее время движения известно, то получим .

Ответ 4 км

 6.  Сколько процентов числа 3 составляет разность между ним и 3% числа 20?

 Решение

Задача решается в три действия:

 Ответ 80%

 7. Сколькими нулями оканчивается произведение ?

 Решение

Число нулей равно числу множителей 5, а их в каждом десятке по 2, итого 2*10=20. Кроме того, еще по одной пятерке в числах кратных 25, т.е. всего 24

 8.  В классе 25 человек. Из них 8 занимаются в секции велосипедистов, 13- в секции плавания, 17- в лыжной секции. Ни один из учеников не занимается в трех секциях. Все спортсмены учатся только на 4 и 5 не в пример 6 ученикам, имеющим тройки по математике.  Сколько  велосипедистов занимается плаванием?

 Решение

 Изобразим данные задачи как показано на рисунке:

 Видно, что двоечников нет. А в секции плавания занимается 2 велосипедиста.

 

Ответ : 2

 

9. В сказочной стране 30 сказочных городов, причем каждый соединен с каждым дорогой. Какое наибольшее число дорог можно закрыть на ремонт так, чтобы из каждого города можно было проехать в каждый?

 

Решение

В полном графе с n вершинами количество ребер равно . Согласно данным задачи получим:

 

 Ответ:

 

Ответ 406 дорог

 

10.  Восстановите цифры в примере и объясните ход рассуждений.

 

 

Решение

Последняя цифра множителя 6, так как первое промежуточное значение четырехзначно. Цифры множимого могут быть только 0 или 5. Первая цифра 5. Вторая не может быть 5, так как в этом случае в результате вторая цифра не получится 1. Значит множимое 504, множитель 236

8-й класс:

Вариант 1

1)   Докажите, что двадцатисемизначное число 333….3 делится на 81

 

Решение

 

В скобках записано число, состоящее из 9 групп одинаковых цифр. Сумма его цифр делится на 9. Следовательно. Все произведение, а значит, и данное число разделится на 81

 

2) В лесу количество берез на 20% больще количества сосен, а количество елей на 50% меньше количества осин, при этом количество осин в 1,5 раза меньше количества берез. На сколько процентов елей меньше сосен?

 

Решение.

Введем обозначения. Б- количество берез, С – количество сосен, Е – количество елей, Ос – количество осин.. по условию Б=1.2 С, Е= 0.5 Ос, Ос=Б \ 1.5. Следовательно,

 

Ответ: на 60%

 

 

3) Найдите все двузначные числа, обладающие тем свойством, что каждое из них в сумме с числом, записанным теми же цифрами, но в обратном порядке, равно квадрату некоторого числа.

 

Решение

Запишем искомое число. Тогда  имеем:  Значит,  Поэтому,  и, следовательно, искомым числом может быть 29,38,47,56,65,74,83,92

 

 

4) Найти наименьшее целое число. Которое при делении с остатком на 17 имеет частное 18.

 

Решение.

При делении некоторого числа на 17 в остатке будем иметь одно из чисел 1,2,3, …16. По условию задачи искомое число равно остаток. Наименьшим число будет, если

 

Ответ. 307

 

 

 

5) В прямоугольном треугольнике АВС,  где угол С равен , из вершины прямого угла В проведена медиана ВК. Найдите площадь треугольника ВСК, если длина катета АВ равна 4 см.

 

Решение.

АС=8, ВС=

Ответ:

 

6)  Из леса в деревню со скоростью 4 км в час вышел грибник. Через 2 часа из деревни в лес вышел лесник со скоростью 6 км в час. Через 15 минут они встретились. Какое расстояние от леса до деревни ?

 

Решение.

До места встречи грибник прошел 2,25 часа, а лесник 0,25 часа. Учитывая их скорости, получим, что расстояние от леса до деревни

 

 

Ответ :10.5 км

 

7) Сергею вдвое больше лет, чем Володе было тогда, когда Сергею было столько лет, сколько Володе теперь. Когда Володе будет столько лет, сколько Сергею теперь, тогда сумма их возрастов будет равна 63 годам. Сколько лет каждому?

 

Решение

 

 

теперь лет

было лет

станет лет

Сергей

у

х

(у+(у-х))

Володя

х

(х-(у-х))

у

 

 

 

 

Ответ: 21 год и 28 лет

8) Решите уравнение  

 

Решение.

 

 

Ответ:  625

 

9).  Между 9 планетами солнечной системы введено космическое сообщение. Ракеты летают по следующим маршрутам: Земля – Меркурий, Плутон – Венера, Земля – Плутон, Плутон – Меркурий,  Меркурий – Венера, Уран – Нептун. Нептун – Сатурн, Сатурн – Юпитер, Юпитер – Марс и Марс – Уран. Можно ли добраться с Земли до Марса?

 

Решение

Нет, нельзя. Нарисуем схему (граф). Планетам будут соответствовать точки, а соединяющим их маршрутам – отрезки. Тогда Земля, Меркурий, Венера и Плутон объединятся в четырехугольник, а Уран, Нептун, Сатурн, Юпитер и Марс в пятиугольник. В итоге, по нарисованной схеме понятно, что добраться с Земли до Марса нельзя

 

Ответ: Нет, нельзя

 

 

 

10) Найти все а, при которых площадь треугольника, образованного осями координат и прямой  равна 2

Решение.(пособие ДорофеевСПбГУЭФ стр 104)

Построим прямую в декартовой системе координат по точкам. При х=0 получим точку на оси у=а-1, при у=0 следует х=1-а. Так как угол наклона прямой острый, то возможны два расположения прямой при . Обозначим точки пересечения прямых с осями координат: А(1-а, 0), В (0, а-1), D(1-a, 0), C(0,a-1). При этом . Известно, что площадь треугольника . Если , то b=ОА=а-1. h=OB=a-1, если же , то b=OD=1-a, h=OC=1-a. Но в обоих случаях  

Ответ: -1, 3.

9-й класс:

  1. 1.      Найдите значения , при которых отношение корней уравнения равно 12.

 

Решение

 

Пусть  и -корни уравнения. Тогда, по теореме Виета ,

. Кроме того, согласно условию . Решая систему этих трех уравнений, получим: или .

Ответ: -3; 23.

 

 

 

 

  1. 2.      Решить  уравнение .

 

 

Решение

Группируем множители: первый с четвертым и второй с третьим.

 

Затем замена .  Ответ: -7,-2.

 

 

 

  1. 3.      Решить уравнение

 

Решение

Выражение  можно преобразовать следующим образом:

 

В результате приходим к уравнению которое, очевидно, не имеет решения. Ответ: решений нет.

 

 

  1. 4.      Доказать, что при любом натуральном  выражение есть квадрат целого числа.

 

Решение

.

 

  1. 5.      Пусть  и  корни квадратного уравнения . Вычислить .

Решение

 

Пусть  и  корни квадратного уравнения . Вычислить .

Представим выражение  в виде . Затем используем теорему Виета:

.

Ответ:

 

 

  1. 6.      В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС длина средней линии, параллельной стороне АВ, равна  длине высоты, проведённой из вершины С. Найти углы треугольника.

Решение

 

            Величины углов треугольника равны 30, 75 и 75, либо 150, 15,15 градусов.

Действительно, боковая сторона АВ = ВС треугольника вдвое больше соответствующей средней линии, поэтому она вдвое больше высоты, проведённой из вершины С. Следовательно, в прямоугольном треугольнике с вершиной В и гипотенузой ВС

противолежащий катет вдвое меньше гипотенузы. Значит, величина В равно 30 или 150 градусов.

 

Ответ: 30, 75 и 75, либо 150, 15,15.

 

 

 

  1. 7.      Можно ли на плоскости уложить семь красных квадратов и один синий так, чтобы синий квадрат имел с каждым красным хотя бы по одной общей внутренней точке, и никакие два красных квадрата не имели общих внутренних точек? Размеры всех квадратов одинаковы.

Решение

 

Можно, это следует из чертежа:

 

 

  1. 8.      Андрей вышел из пункта А в 10 часов 18 минут и, двигаясь с постоянной скоростью, пришѐл в пункт Б в 13 часов 30 минут. В тот же день Борис вышел из Б в 9 часов 00 минут и, идя по той же дороге с постоянной скоростью, пришѐл в А в 11 часов 40 минут. Дорога пересекает реку, Андрей и Борис одновременно подошли к мосту через эту реку, каждый со своей стороны. Андрей ушѐл с моста на одну минуту позже Бориса. Когда они подошли к мосту?

 

Решение

Андрей тратит на дорогу из А в Б 192 минуты, а Борис на такую же дорогу из Б вА-160 минут, на 32 минуты меньше. По мосту Борис проходит на 1 минуту быстрее, поэтому мост составляет 1/32 часть пути. Скорости Андрея и Бориса равны 1/192 и 1/160  пути в минуту. В 10 часов 18 минут, когда Андрей вышел из А,  Борис уже преодолел 78/160=39/80  пути. Если оставшееся теперь время до прихода каждого из них на мост равно x минут, то

, откуда .Значит, они подошли к мосту в 11 часов ровно.

Ответ: в 11 часов ровно.

  1. 9.      Можно ли записать в каждой вершине куба одно из чисел 1, 2,…,8 так, чтобы суммы чисел в вершинах каждой грани были одинаковы?

 

Решение

Да, два примера требуемого расположения приведены на рисунке:

 

 

 

  1. 10.  Прямая, касающаяся описанной окружности треугольника АВС в точке А, пересекается с прямой ВС в точке К. На прямой ВС от точки К в сторону точек В и С отложен отрезок КМ, длина которого равна длине АК. Доказать, что АМ является биссектрисой угла ВАС.

Решение

Прямая АК касается окружности в точке А, поэтому . Из треугольника АВК выражаем

. В равнобедренном треугольнике АКМ имеем .

Следовательно, , что и требовалось доказать.

10-й класс:

      1. Найти множество точек плоскости, координаты  которых удовлетворяют неравенству

 Решение

Неравенство равносильно системе

(1-   ) + (1 - ) > 0, (1 -  )(1 - ) > 0,

Которая выполняется тогда и только тогда, когда 1 - > 0,1 - >0. Последней системе удовлетворяют внутренние точки квадрата < 1,  < 1.

             2. Решить уравнение  .

Решение.

Поскольку

x - 2  = ,

x + 2  = ,

То исходное уравнение можно записать так :

.Оно равносильно совокупности двух систем:

 Решая эту совокупность, получаем x = .

 3. Доказать неравенство

 Решение

Проще всего воспользоваться неравенством,которое выполняется для любых неотрицательных чисел a,b и n>1. Геометрически оно означает, что для положительных x  и n>1 график функции  вогнут. Положив в этом неравенстве ,, получим

.4. При каких значениях параметра  уравнение имеет два положительных корня?

Решение

Согласно теореме Виета  , если , то

. Искомые значения будут решениями системы

 (Первое неравенство - условие существования корней)

Ответ: .

 5. Решить систему уравнений:

Решение

            Сложим оба уравнения: , откуда либо , либо . Вычтем из первого уравнения второе:, откуда  либо , либо

1)      Пусть ,  и  либо . Это дает три решения:  и , .

2)      Пусть ,  и  либо . Это дает два новых решения: и, .

 3)      Пусть ,, тогда  и . Складывая и вычитая эти уравнения, получим  и . Тогда , откуда -противоречие. В рассматриваемом случае нет решений.

Ответ: 1), 2) , ,3) и, .

 6. Пусть    - натуральные числа.  Доказать, что наименьшее общее кратное этих чисел не меньше .

 7. В угол с вершиной  О вписана окружность, касающаяся его сторон в точках А и В соответственно. Из точки А параллельно ОВ проведена прямая, вторично пересекающая окружность в точке С, а отрезок ОС вторично пересекает окружность в точке Е. Пусть прямая АЕ пересекает отрезок ОВ в точке К. Доказать, что К – середина ОВ.

 8. В клетках таблицы 7 на 7 расставлены числа 0, 1 и –1 так, что в каждом квадрате 3 на 3 сумма чисел равна 0. Найти наибольшее возможное значение суммы всех чисел таблицы.

 9. Доказать, что  если   , то при любом нечетном    

Решение.

Запишем исходное равенство в таком виде:

 Отсюда следует, что для чисел   должно выполняться хотя бы одно из трех неравенств:

,, . Но для таких чисел  при любом нечетном выполняется равенство

 10. Доказать, что среди произвольных тринадцати человек либо найдутся четверо попарно незнакомых, либо найдётся человек, знакомый не менее, чем с четырьмя другими.

 Решение

            Предположим, что в некоторой компании из 13 человек у каждого не более трёх знакомых. Рассмотрим любых двух незнакомых членов этой компании, назовём их А и Б.

Каждый из них не знает не менее восьми человек, отличных от А и Б, всего таких в компании 13-2=11, поэтому у А и Б не менее 8+8-11= 5 общих незнакомых. Любой из этих пяти незнакомых, скажем, В, знает не более трёх других, следовательно, не знает хотя бы одного,назовём его Г. По выбору А, Б, В и Г являются четвёркой попарно незнакомых членов этой компании.

11-й класс:

11.1. На гранях куба написаны некоторые натуральные числа, и у каждой вершины написано число, равное произведению чисел на гранях, прилежащих к этой вершине. Сумма чисел на вершинах равна 100. Найдите наибольшую возможную сумму чисел.

Решение: Пусть числа на верхней и нижней гранях куба равны a и b, а на его боковых гранях: c, d, e и f. Тогда сумма чисел у вершин куба будет равна:
acd+ade+aef+acf+bcd+bde+bef+bcf=
=a(cd+de+ef+cf)+b(cd+de+ef+cf)=
=(a+b)(cd+de+ef+cf)=(a+b)(c(d+f)+e(d+f))=(a+b)(c+e)(d+f)=100.
Получаем произведение трёх натуральных чисел, каждое из которых не менее двух, равно 100. Число 100 в виде такого произведения можно представить тремя способами. 100=2*2*25=2*5*10=4*5*5. Из них сумма множителей, а, соответственно, и сумма a+b+с+d+e+f наибольшее значение принимает в первом случае. Ответ 29.

11.2.  Рассмотрим множество всех чисел, которые состоят из цифр 1, 2, 3, 4 без повторов. Чему равна сумма всех этих чисел?

Решение: Всего таких чисел будет 4!=24. При этом в любом из четырёх разрядов ровно у шести из них будет стоять 1, у шести - 2, у шести - 3 и у шести чисел - 4. Искомую сумму можно представить как: 6(1000*(1+2+3+4)+100*(1+2+3+4)+10*(1+2+3+4)+(1+2+3+4))=66660.

11.3. Сколько существует таких четырёхзначных чисел, у которых сумма двух последних цифр и числа, образованного двумя первыми цифрами, равняется числу, образованному двумя последними цифрами? (Пример числа, удовлетворяющего данному условию: 6370, т.к. 7+0+63=70)

Решение. Пусть четырёхзначное число имеет вид 1000a+100b+10c+d, где a, b, c, d – натуральные числа и a>0. Тогда условие, выполнение которого требуется, можно записать как: c+d+10a+b=10c+d. Отсюда получаем: 10a+b=9c. Следовательно, последняя цифра может быть любой, а число, образованное первыми двумя цифрами, должно быть в 9 раз больше третьей цифры. Значит третья цифра может быть равной 2, 3, … 9 (т.к. a>0), а четвёртая – 0, 1, … 9. Всего 8*10=80 вариантов.

11.4. В лесу собрали 36 грибов - рыжиков, груздей и подберёзовиков. Известно, что среди любых 25 из этих грибов не меньше 5 груздей, среди любых 27 – не меньше 2 рыжиков, а среди любых 31 гриба не меньше 4 подберёзовиков. Найти число грибов каждого вида.

Решение.  16 груздей, 11 рыжиков, 9 подберёзовиков. Из того, что среди любых 25 из этих грибов не меньше 5 груздей, следует, что количество рыжиков и подберёзовиков вместе не превосходит 20, значит, груздей не меньше 16. Аналогично, из того, что среди любых 27 – не меньше 2 рыжиков, следует, что груздей и подберёзовиков вместе не больше 25, а рыжиков – не меньше 11. Наконец, из того, что среди любых 31 гриба не меньше 4 подберёзовиков, следует, что груздей и рыжиков вместе не больше 27, а подберёзовиков – не меньше 9. Ввиду того, что 16+11+9=36 – общему числу грибов, получим везде точное равенство.

Замечания по оцениванию. Если ответ только угадан, ставим 0 баллов. Если ответ угадан и аккуратно проверена его правильность, ставим 3 балла. Правильно составлено уравнение или система, но решено с ошибками, ставим от 4 до 6 баллов в зависимости от вида ошибки.

11.5. Через некоторую точку плоскости проходят четыре различные прямые l,m, n и p , они обозначены по часовой стрелке. Известно, что угол между l и m равен углу между n и p . Из произвольной точки А плоскости, не принадлежащей этим прямым, на прямые l,m, n и p опустили перпендикуляры AL, AM, AN и AP соответственно. Доказать, что прямые LP и MN параллельны.

Решение. Обозначим через О точку пересечения прямых l,m,n,p. Легко заметить, что точки L,M,N,P лежат на окружности с диаметром АО. Пусть А лежит между p и l. Стороны углов LAM и LOM соответственно перпендикулярны, поэтому сами углы равны. Аналогично, равны углы PAN и PON. По условию, углы LOM и PON равны, как углы между прямыми l и m, и между n и p. Следовательно, дуги LM и PN окружности равны, значит, PL и MN параллельны. Аналогично рассматривается случай, когда А лежит между m и l. Замечания по оцениванию. Если замечены отдельные верные факты, оцениваем следующим образом. Проведена окружность с диаметром АО, оцениваем в 1 балл. Если замечено равенство углов LAM и LOM, оцениваем в 1 балл. Если замечено равенство углов LAM и PAN, оцениваем в 1 балл. Замечено равенство дуг LM и PN - оцениваем в 1 балл. В ходе решения должны рассматриваться два разных варианта расположения А относительно прямых, внутри угла между l и m или n и p, либо внутри оставшихся углов. Если это не делается, или не объясняется, как этого избежать, снимаем 1 балл.

 

11.6. Сколько положительных целых чисел могут быть записаны как

, если  принадлежат множеству {-1,0,1}?

Решение. Здесь мы имеем дело с равновесной троичной системой счисления. Если бы коэффициенты при степенях тройки принимали значения 0, 1 или 2, то таким образом могли бы быть записаны числа от 0 до (22222)3 = 242. А в равновесной троичной системе счисления пятью цифрами можно записать число от ((-1)(-1)(-1)(-1)(-1))3 = -121 до (11111)3 = 121. Из них положительных чисел будет 121.

Строго доказать, что с помощью n цифр равновесной троичной системы можно записать все числа в диапазоне от –(3n-1)/2 до (3n-1)/2 можно по индукции. Одной цифрой можно записать числа -1, 0, 1 – база индукции имеется. Пусть для k цифр верно, что мы получаем все числа от –(3k - 1)/2 до (3k - 1)/2.

Тогда, взяв k+1-ю цифру, равную нулю, мы получим те же числа. Взяв её равной единице, получим числа от 3k – (3k - 1)/2 до 3k + (3k - 1)/2, т.е. от (3k - 1)/2 +1 до (3k+1 - 1)/2. Аналогично, взяв взяв k+1-ю цифру, равную -1, получим все числа от –(3k+1 - 1)/2 до (3k - 1)/2 -1. Таким образом, с помощью k+1 цифры мы получим все числа от –(3k+1 - 1)/2 до (3k+1 - 1)/2, что и требовалось доказать. Ответ 121.

11.7. Каждая из расположенных по кругу 12 ламп может находиться ровно в одном из состояний: гореть или не гореть. За один ход можно изменить состояние любых трёх ламп, расположенных подряд. Вначале горит только одна лампа. Можно ли добиться того, чтобы горели все 12 ламп?

Решение. Нельзя. Занумеруем лампы, начиная с горящей, по часовой стрелке цифрами 1,2,3 в циклическом порядке, ламп каждого типа четыре – чётное число. Каждая операция изменяет состояние ровно одной лампы каждого типа. Чтобы горевшая лампа осталась в итоге гореть, её состояние надо изменить чётное число раз, а чтобы не горевшая зажглась – нечётное число раз. Следовательно, чтобы горели все лампы первого типа, нужно нечётное число операций (ч+н+н+н), а чтобы горели все лампы второго и третьего типа, нужно чётное число операций (н+н+н+н), что невозможно, так как эти количества должны совпадать.

11.8. Про восемь трёхэлементных множеств известно, что каждые два из них имеют ровно один общий элемент. Доказать, что все множества имеют общий элемент.

Решение. Рассмотрим любое из этих множеств, обозначим его за A . Оно пересекается с каждым из остальных семи по одному элементу, поэтому некоторый его элемент a содержится не менее, чем в трёх множествах B,C, D , отличных от A . Если он не содержится хотя бы в одном из оставшихся множеств E , то E пересекается с каждым из B,C, D по одному элементу. Все эти элементы различны, не равны a и, следовательно, не лежат в A . Таким образом, E не может пересекаться с A - противоречие. Следовательно, a содержится во всех множествах из условия задачи.

11.9. Найти все решения в натуральных числах .

Решение. Сразу заметим , значит z! делится на х! и на у!. Рассмотрим три случая.

  1. х=у. Тогда 14=z!/x!=z(z-1)…(x-1) –целое число. Т.к. это произведение состоит из одного числа 14. . Отсюда /
  2. . Тогда  - целое число, откуда . В первом и втором случаях  либо , тогда  либо , что невозможно. В третьем случае , тогда , откуда - решение. В четвертом  и , откуда . В пятом случае либо , тогда , что невозможно, потому что , либо  и , что опять невозможно.
  3. . Тогда  - целое число или . При этом  , тогда , что невозможно. Следовательно, ответы  либо , либо .

11.10. Из пункта Б в сторону, противоположную пункту А, выходит пешеход. В то же самое время из пункта А в направлении к Б выезжает автомобиль и догоняет пешехода через 20 минут. Если бы скорость автомобиля была на 30% выше, то он догнал бы пешехода через 15 минут. На сколько процентов ниже исходной должна быть скорость автомобиля, чтобы он догнал пешехода за 25 минут?

Решение. Обозначим расстояние между пунктами за S, скорости автомобиля и пешехода за x и y км в час соответственно. Тогда  , и  откуда S = 3y, x =10y  За 25 минут пешеход пройдѐт км, а автомобилю нужно будет проехать Скорость его при этом должна равняться  , то есть быть меньше исходной на , что составляет  от исходной.